Question

14．某高校的自主招生考試分為筆試和面試，筆試有語(yǔ)、數(shù)、外、綜合共四個(gè)科目的考試，面試有時(shí)政評(píng)論、創(chuàng)新設(shè)計(jì)共兩個(gè)項(xiàng)目的考核，筆試中至少通過(guò)3科才可進(jìn)入面試，否則淘汰；面試中只通過(guò)一項(xiàng)可獲得高考報(bào)考降分錄取資格，兩項(xiàng)都通過(guò)可獲得保送資格．已知每位考生在筆試中通過(guò)每科考試的概率均為$\frac{2}{3}$，在面試中通過(guò)每項(xiàng)考核的概率均為$\frac{1}{2}$，且相互獨(dú)立．
（1）求參加考試的某學(xué)生獲得降分錄取資格的概率；
（2）某中學(xué)選送了3名學(xué)生參加考試，其中獲得降分錄取和保送資格的人數(shù)之和記為ξ，求ξ的期望值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式求得某學(xué)生獲得降分錄取資格的概率．
（2）先利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，求得考生獲得降分錄取或保送資格的概率，再利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式求得 ξ取每個(gè)值的概率，即可求得ξ的期望值．

解答 解：（1）某學(xué)生獲得降分錄取資格，說(shuō)明他筆試中至少通過(guò)3科，面試中只通過(guò)一項(xiàng)，
故獲得降分錄取資格的概率為[${C}_{4}^{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$•$\frac{1}{3}$+${（\frac{2}{3}）}^{4}$]•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{48}{81}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{8}{27}$．
（2）由（1）可得考生獲得高考報(bào)考降分錄取資格的概率為$\frac{8}{27}$，考生獲得高考保送資格的概率為[${C}_{4}^{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$•$\frac{1}{3}$+${（\frac{2}{3}）}^{4}$]•${C}_{2}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{48}{81}$•$\frac{1}{4}$=$\frac{4}{27}$，
故考生獲得降分錄取或保送資格的概率為$\frac{8}{27}$+$\frac{4}{27}$=$\frac{4}{9}$，
故考生獲得降分錄取和保送資格的人數(shù)之和 ξ=0，1，2，3．
由于P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{5}{9}）}^{3}$=$\frac{125}{729}$，P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{4}{9}$•${（\frac{5}{9}）}^{2}$=$\frac{300}{729}$，P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{4}{9}）}^{2}$•$\frac{5}{9}$=$\frac{240}{729}$，P（ξ=3）=${（\frac{4}{9}）}^{3}$=$\frac{64}{729}$，
∴Eξ=0+1×$\frac{300}{729}$+2×$\frac{240}{729}$+3×$\frac{64}{729}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式，離散型隨機(jī)變量的期望，屬于中檔題．