Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x²+ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=$\frac{ex}{{e}^{x}}$，若對(duì)于任意給定的x₀∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x₀）在（0，e]內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)性；
（3）先求出函數(shù)g（x）的值域，求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到F（e）≤0且F（x）_max＞1，進(jìn)而求出a的范圍．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=lnx-x²+x，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{-{2x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$
由f′（x）=0再結(jié)合x＞0得：
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f′（x）＞0，則f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f′（x）＜0，則f（x）是減函數(shù)
∴f（x）_最大值=f（x）_極大值=f（1）=0；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+a=$\frac{-{2x}^{2}+ax+1}{x}$，
由f′（x）=0得-2x²+ax+1=0，
該方程的判別式△=a²+8＞0，可知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，
由x＞0取x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$）時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，+∞）時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）的單增區(qū)間是（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$）；單減區(qū)間是（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，+∞），
（3）g′（x）=（1-x）e^1-x，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在（0，e]上的值域?yàn)椋?，1]，
令F（x）=f（x）+1，則F′（x）=f′（x）=$\frac{-{2x}^{2}+ax+1}{x}$，
由F′（x）=0，結(jié)合（1）可知，方程F′（x）=0在（0，+∞）上有一個(gè)實(shí)數(shù)根x₃，
若x₃≥e，則F（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，不合題意．
∴F′（x）=0在（0，e]上有唯一的解x₃=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，
且F（x）在（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$）上單調(diào)遞增；在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，+∞）單調(diào)遞減．
∵?x₀∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x₀）在（0，e]內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根
∴F（e）≤0且F（x）_max＞1，
由F（e）≤0得lne-e²+ae+1≤0，解得：a≤e-$\frac{2}{e}$，
由F（x）_max=F（x₃），得lnx₃-${{x}_{3}}^{2}$+ax₃+1＞1，lnx₃-${{x}_{3}}^{2}$+ax₃＞0，
∵-2${{x}_{3}}^{2}$+ax₃+1=0，∴a=2x₃-$\frac{1}{{x}_{3}}$代入lnx₃-${{x}_{3}}^{2}$+ax₃＞0得：
lnx₃+${{x}_{3}}^{2}$-1＞0，
令h（x）=lnx₃+${{x}_{3}}^{2}$-1，可知函數(shù)h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，
而h（1）=0，∴h（x₃）＞h（1）=0，∴1＜x₃＜e，
又a=2x₃-$\frac{1}{{x}_{3}}$在1＜x₃＜e上單調(diào)遞增，
∴1＜a＜2e-$\frac{1}{e}$，
綜上所述，a∈（1，e-$\frac{2}{e}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查解題能力，本題難度較大．