Question

1．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=x²-ax-alnx圖象上不同的任意兩點(diǎn)，設(shè)x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，試探究函數(shù)（x）在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀））處的切線與直線AB的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 由求導(dǎo)公式求出f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀））處的切線斜率k，再由斜率公式求出直線AB的斜率，化簡(jiǎn)后根據(jù)a的值進(jìn)行判斷即可．

解答 解：由題意得，$f′（x）=2x-a-\frac{a}{x}$（x＞0），
因?yàn)閤₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，所以$f′（{x}_{0}）=2{x}_{0}-a-\frac{a}{{x}_{0}}$=（x₁+x₂）-a-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
則函數(shù)（x）在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀））處的切線斜率k=（x₁+x₂）-a-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
又x₁≠x₂，則直線AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-a{x}_{2}-aln{x}_{2}-（{{x}_{1}}^{2}-a{x}_{1}-aln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}）-a{（x}_{2}-{x}_{1}）-a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}+{x}_{1}-a）-aln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=（x₁+x₂-a）-$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$$ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
所以當(dāng)a=0時(shí)，k=k_AB=x₁+x₂，則切線與直線AB平行，
當(dāng)a≠0時(shí)，k≠k_AB成立，則切線與直線AB相交，
綜上可得，切線與直線AB平行或相交．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線斜率公式，考查化簡(jiǎn)、變形能力和分析解決問(wèn)題的能力．