Question

16．三棱柱A的直觀圖（圖1）及三視圖（圖2）（主視圖和俯視圖是正方形，左視圖是等腰直角三角形）如圖所示，A為A的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B₁C⊥平面BAC₁；
（Ⅱ）求平面C₁BA與平面C₁BD的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明AB⊥平面C₁B₁BC，可得AB⊥B₁C，利用BC₁⊥B₁C，即可證明：B₁C⊥平面BAC₁；
（Ⅱ）補(bǔ)成正方體，得∠O₁OS為二面角的平面角，即可求平面C₁BA與平面C₁BD的夾角的余弦值

解答 解：（Ⅰ）由三視圖可知，幾何體為直三棱柱．
∵AB⊥BC，BB₁⊥AB，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面C₁B₁BC，∴AB⊥B₁C，…（4分）
在正方形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C，…（5分）
又∵BC₁?平面ABC₁，AB?平面ABC₁，BC₁∩AB=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁．…（6分）
（Ⅱ）如圖補(bǔ)成正方體，得∠O₁OS為二面角的平面角，${O_1}O=2，{O_1}S=\sqrt{2}$，
∴$cos∠{O_1}OS=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴平面C₁BA與平面C₁BD的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．