Question

12．已知數列{a_n}的各項均為正數，前n項和為S_n，且${S_n}=\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}（n∈{N^*}）$，
（Ⅰ）求證數列{a_n}是等差數列；
（Ⅱ）設${b_n}=\frac{1}{S_n}，{T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}$，若λ≤T_n對于任意n∈N^*恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）n=1時，a₁=1，當n≥2時，${S_{n-1}}=\frac{{{a_{n-1}}（{a_{n-1}}+1）}}{2}（n≥2）$，與原式相減，即可求得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=（a_n+a_n-1），由a_n+a_n-1≠0，a_n-a_n-1=1（n≥2），∴數列{a_n}是首項為1公差為1的等差數列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，${S_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$，${b_n}=\frac{2}{{{n^2}+n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，采用“裂項法”即可求得${T_n}=\frac{2}{{1+\frac{1}{n}}}$，由函數單調性可知，T_n≥T₁=1，可求得λ≤1．

解答 解：（Ⅰ）n=1時，a₁=1，
${S_n}=\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}（n∈{N^*}）$①
當n≥2時，${S_{n-1}}=\frac{{{a_{n-1}}（{a_{n-1}}+1）}}{2}（n≥2）$②
①-②得：${a_n}=\frac{{{a_n}^2+{a_n}-{a_{n-1}}^2-{a_{n-1}}}}{2}$（n≥2），
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=（a_n+a_n-1），
∵數列{a_n}的各項均為正數，
∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴數列{a_n}是首項為1公差為1的等差數列； （6分）
（Ⅱ）由（1）得：${S_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$，
∴${b_n}=\frac{2}{{{n^2}+n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
∴${T_n}=2[{（1-\frac{1}{2}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）}]=2（{1-\frac{1}{n+1}}）=\frac{2n}{n+1}$，
∵${T_n}=\frac{2}{{1+\frac{1}{n}}}$，
∴T_n單調遞增，
∴T_n≥T₁=1，
∴λ≤1．（12分）

點評 本題考查等差數列通項公式的求法，考查采用“裂項法”求數列的前n項和，考查利用函數單調性求實數λ的取值范圍，考查計算能力，屬于中檔題．