Question

20．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x（x∈R），若任意實(shí)數(shù)x使得f（a-x）+f（ax²-1）＜0成立，則a的取值范圍是（-∞，$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 容易判斷f（x）在R上為增函數(shù)，從而根據(jù)條件得出a-x＜1-ax²恒成立，整理成ax²-x+a-1＜0恒成立，從而得出$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，這樣解出a的范圍即可．

解答 解：f（x）在R上為增函數(shù)，且是奇函數(shù)；
∴由f（a-x）+f（ax²-1）＜0得，f（a-x）＜f（1-ax²）；
∴a-x＜1-ax²對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立；
即ax²-x+a-1＜0恒成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=1-4a（a-1）＜0}\end{array}\right.$；
解得$a＜\frac{1-\sqrt{2}}{2}$；
∴a的取值范圍是（-∞，$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$）．
故答案為：$（-∞，\frac{1-\sqrt{2}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查一次函數(shù)和y=ax³的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性定義，要熟悉二次函數(shù)的圖象，會(huì)解一元二次不等式．