Question

1．已知f（x）=e^x，g（x）=1nx．
（I）分別求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)h（x）在x=x₀處取得極小值，求證：x₀∈（$\frac{1}{2}$，1），且h（x₀）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出相對(duì)應(yīng)的切線的斜率，代入切線方程即可；
（Ⅱ）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出h′（$\frac{1}{2}$）＜0，h′（1）＞0，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1），
f′（x）=e^x，f′（0）=1，
故切線方程是：y-1=（x-0），
即x-y+1=0，
g（x）=lnx與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），
g′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（1）=1，
故切線方程是：y-0=（x-1），
即x-y-1=0；
（Ⅱ）證明：h（x）=e^x-1nx，（x＞0），
h′（x）=$\frac{{xe}^{x}-1}{x}$，（x＞0），
令m（x）=xe^x-1，m′（x）=e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴h′（x）在（0，+∞）遞增，
而h′（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-2＜0，h′（1）=e-1＞0，
故存在x₀∈（$\frac{1}{2}$，1）使得函數(shù)h（x）在x=x₀處取得極小值，
故h（x₀）≈h（1）=e＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程問題，是一道中檔題．