15．已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，則棱錐S-ABC的體積為（　�。�
A．$\frac{\sqrt{3}}{5}$B．$\frac{2\sqrt{3}}{3}$C．$\frac{4\sqrt{3}}{3}$D．$\frac{5\sqrt{3}}{3}$

分析 由題意求出SA=AC=SB=BC=2$\sqrt{2}$，∠SAC=∠SBC=90°，說明過O，A，B的平面與SC垂直，求出三角形OAB的面積，即可求出棱錐S-ABC的體積．

解答 解：如圖由題意△ASC，△BSC均為等腰直角三角形，則SA=AC=SB=BC=2$\sqrt{2}$，
∴∠SOA=∠SOB=90°，∴SC⊥平面ABO．
又AB=2，△ABO為正三角形，則S△ABO=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×22=$\sqrt{3}$，
進(jìn)而可得：V S-ABC=V C-AOB+V S-AOB=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×4$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接三棱錐的體積，考查空間想象能力，計算能力，得出SC⊥平面ABO是本題的解題關(guān)鍵，且用了體積分割法．

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14．已知（1+px）（1-x+x2）8的展開式中x4項的系數(shù)是42，則p的值是（　�。�
A．1B．2C．4D．5

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6．如圖，有一正三角形鐵皮余料，欲利用余料剪裁出一個矩形（矩形的一個邊在三角形的邊上），并以該矩形制作一鐵皮圓柱的側(cè)面．問：如何剪裁，才能使得鐵皮圓柱的體積最大？

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3．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的一條漸近線經(jīng)過點P（1，-2），則該雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

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10．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線互相垂直，那么此雙曲線的離心率是（　�。�
A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．2D．3

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20．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)是右焦點，過F作雙曲線C在第一、第三象限漸近線的垂線l，若l與雙曲線的左右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�
A．（$\sqrt{2}$，+∞）B．（$\sqrt{3}$，+∞）C．（2，+∞）D．（$\sqrt{5}$，+∞）

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7．已知函數(shù)f（x）=1+ax-alnx，a≠0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象過點（1，0），是否存在實數(shù)b，使得對任意的實數(shù)c∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x3+x2[f′（x）+b]在區(qū)間（c，3）上不單調(diào)（f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）？若存在，求b的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)ai=$\frac{lni}{i}$（i∈N*），求證：a2•a3…an＜$\frac{1}{n}$（n≥2且n∈N*）．

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4．已知l是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的一條漸近線，P是l上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則P到x軸的距離為（　�。�
A．$\frac{2\sqrt{3}}{3}$B．$\sqrt{2}$C．2D．$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

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5．如圖，已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上有一點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為雙曲線的右焦點，且滿足AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，則該雙曲線離心率e的取值范圍為（　�。�
A．$[{\sqrt{2}，\sqrt{3}+1}]$B．$[{\sqrt{3}，2+\sqrt{3}}]$C．$[{\sqrt{2}，2+\sqrt{3}}]$D．$[{\sqrt{3}，\sqrt{3}+1}]$

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