Question

6．如圖，有一正三角形鐵皮余料，欲利用余料剪裁出一個矩形（矩形的一個邊在三角形的邊上），并以該矩形制作一鐵皮圓柱的側(cè)面．問：如何剪裁，才能使得鐵皮圓柱的體積最大？

Answer 1

分析 假設(shè)正三角形邊長為a，EF=x，用x表示出GF，分兩種情況計算圓柱的體積V（x），利用導數(shù)與函數(shù)最值得關(guān)系求出V（x）的極大值和極大值點，得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)正三角形長為a，設(shè)EF=x，則BF=$\frac{x}{\sqrt{3}}$，GF=a-$\frac{2x}{\sqrt{3}}$．
（1）若以EF為底、GF為高，則圓柱底面半徑r=$\frac{x}{2π}$，
V（x）=πr²•GF=π（$\frac{x}{2π}$）²（a-$\frac{2x}{\sqrt{3}}$）=$\frac{1}{4π}$（ax²-$\frac{2{x}^{3}}{\sqrt{3}}$），0＜x＜$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
∴V′=$\frac{1}{4π}$（2ax-2$\sqrt{3}$x²）=-$\frac{x}{2π}$（$\sqrt{3}$x-a）．
當0＜x＜$\frac{a}{\sqrt{3}}$時，V′＞0；當$\frac{a}{\sqrt{3}}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}a}{2}$時，V′＜0；
∴當x=$\frac{a}{\sqrt{3}}$時，V（x）取得最小值V（$\frac{a}{\sqrt{3}}$）=$\frac{{a}^{3}}{36π}$．
（2）若以GF為底、EF為高，則圓柱底面半徑r=$\frac{a-\frac{2x}{\sqrt{3}}}{2π}$．
V（x）=πr²•EF=π（$\frac{a-\frac{2x}{\sqrt{3}}}{2π}$）²x=$\frac{1}{4π}$（$\frac{4{x}^{3}}{3}$-$\frac{4a{x}^{2}}{\sqrt{3}}$+a²x），0＜x＜$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
V′（x）=$\frac{1}{4π}$（4x²-$\frac{8ax}{\sqrt{3}}$+a²），
令V′（x）=0，得x₁=$\frac{a}{2\sqrt{3}}$、x₂=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
當0＜x＜$\frac{a}{2\sqrt{3}}$時，V′（x）＞0；當$\frac{a}{2\sqrt{3}}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}a}{2}$時，V′（x）＜0；
∴當x=$\frac{a}{2\sqrt{3}}$時，V（x）取得最大值V（$\frac{a}{2\sqrt{3}}$）=$\frac{{a}^{3}}{18\sqrt{3}π}$．
∵$\frac{{a}^{3}}{18\sqrt{3}π}$＞$\frac{{a}^{3}}{36π}$，
∴以GF為底、EF為高，且EF=$\frac{a}{2\sqrt{3}}$時，體積最大．

點評 本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．