已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點,點P(1,
2
3
3
)是橢圓上的一點,且|PF1|+|PF2|=2
3

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)直線l1,l2分別過點F1,F(xiàn)2,且l1⊥l2,直線l1交橢圓C于D、E兩點,直線l2交橢圓C于M、N兩點,求四邊形DMEN面積的最小值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)由已知條件得
2a=2
3
1
a2
+
4
3b2
=1
,由此能求出橢圓方程.
(Ⅱ)當(dāng)l1,l2斜率都存在時,設(shè)DE:y=k(x+1),代入
x2
3
+
y2
2
=1
,得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,由此求出|DE|=
4
3
(k2+1)
3k2+2
,同理,|MN|=
4
3
(
1
k2
+1)
2+
3
k2
,從而求出k=±1時S=
96
25
;當(dāng)l1,l2有一條斜率不存在時,S=4,由此求出四邊形DMEN面積的最小值為
96
25
解答: (Ⅰ)證明:∵F1,F(xiàn)2是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點,
點P(1,
2
3
3
)是橢圓上的一點,且|PF1|+|PF2|=2
3
,
2a=2
3
1
a2
+
4
3b2
=1
,解得a=
3
,b=
2
,
∴橢圓方程為
x2
3
+
y2
2
=1

(Ⅱ)解:①當(dāng)l1,l2斜率都存在時,設(shè)DE:y=k(x+1),
代入
x2
3
+
y2
2
=1
,得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,
設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),則x1+x2=
-6k2
2+3k2
,x1x2=
3k2-6
2+3k2

|x1-x2|=
4
3
k2+1
3k2+2
,
∴|DE|=
1+k2
•|x1-x2|=
4
3
(k2+1)
3k2+2
,
∵l1⊥l2,同理,|MN|=
4
3
(
1
k2
+1)
2+
3
k2
,
S=
1
2
|DE|•|MN|=
24[(k2+
1
k2
)+2]
6(k2+
1
k2
)+13
 
,
令t=k2+
1
k2
,得S=4-
4
13+6×2
=
96
25
,
等號成立的條件是k=
1
k
,即k=±1.
②當(dāng)l1,l2有一條斜率不存在時,S=4.
由①②得四邊形DMEN面積的最小值為
96
25
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查四邊形面積的最小值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)命題p:方程
x2
a+6
+
y2
a-7
=1表示雙曲線,命題q:圓x2+(y-1)2=9與圓(x-a)2+(y+1)2=16相交.若“p且q”為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)求經(jīng)過點P(-3,-4),且在x軸、y軸上的截距相等的直線l的方程;
(2)已知|
a
|=4,|
b
|=3,(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61,求
a
b
及|
a
+3
b
|的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0},A中元素之和為3,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某服裝廠在2013年9月共生產(chǎn)了A,B,C三種品牌的男、女羽絨服2000件,如下表所示:
品牌ABC
女羽絨服100x400
男羽絨服300450y
現(xiàn)從這些羽絨服中隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢驗,已知抽到品牌B女羽絨服的概率是0.075.
(1)求x、y的值;
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在這些羽絨服中隨機(jī)抽取80件進(jìn)行檢驗,問應(yīng)在品牌C中抽取多少件?
(3)用隨機(jī)抽樣的方法從品牌B女羽絨服中抽8件,經(jīng)檢測它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8件羽絨服的得分看做一個總體,從中任取一個數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(1,5),
b
=(-3,2),
(1)求|
a
-
b
|的值;
(2)當(dāng)k為何值時,k
a
+
b
a
-3
b
平行?平行時它們是同向還是反向?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sin
x
4
,1),
n
=(cos
x
4
,cos2
x
4

(1)若
m
n
=1,求sin(-2x+
π
6
)的值;
(2)記f(x)=
m
n
,在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面,側(cè)棱長是
3
,D是AC的中點.
(1)求證:平面A1BD⊥平面A1ACC1;
(2)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

根據(jù)如圖所示的流程圖,若輸入x的值為-5.5,則輸出y的值為
 

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同步練習(xí)冊答案