Question

4．若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≤b）的值域?yàn)閇0，+∞），則$\frac{b-a}{a+b+c}$的最大值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)b-a=k，由△=0，可得c=$\frac{（a+k）^{2}}{4a}$，$\frac{b-a}{a+b+c}$=$\frac{k}{2a+k+c}$=$\frac{k}{2a+k+\frac{（a+k）^{2}}{4a}}$=$\frac{k}{\frac{9a}{4}+\frac{3k}{2}+\frac{{k}^{2}}{4a}}$=$\frac{1}{\frac{9a}{4k}+\frac{k}{4a}+\frac{3}{2}}$，再利用基本不等式求得它的最大值．

解答 解：設(shè)b-a=k，則b=a+k，
且△=b²-4ac=（a+k）²-4ac=0，
∴c=$\frac{（a+k）^{2}}{4a}$．
∴$\frac{b-a}{a+b+c}$=$\frac{k}{2a+k+c}$=$\frac{k}{2a+k+\frac{（a+k）^{2}}{4a}}$
=$\frac{k}{\frac{9a}{4}+\frac{3k}{2}+\frac{{k}^{2}}{4a}}$=$\frac{1}{\frac{9a}{4k}+\frac{k}{4a}+\frac{3}{2}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{9a}{4k}•\frac{k}{4a}}+\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{2×\frac{3}{4}+\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)k=3a，b=4a時(shí)，取得最大值$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，注意用放縮法，屬于中檔題．