Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，給出下列結(jié)論：
①（1，+∞）是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
②當(dāng)k∈（-∞，$\frac{1}{e}$）時(shí)，直線y=k與y=f（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x²+1的圖象沒有公共點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③
• C． ①②
• D． ②③

Answer 1

分析 ①先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0，解出即可判斷；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)的圖象，通過圖象讀出即可；③求出f（x）的最大值小于y=x²+1的最小值，從而得到答案．

解答 解：①f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）遞減，
故①正確；
②∵f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{e}$，
x→-∞時(shí)，f（x）→-∞，x→+∞時(shí)，f（x）→0，
畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖示：
，
∴當(dāng)k∈（-∞，0）時(shí)，直線y=k與y=f（x）的圖象有1個(gè)不同交點(diǎn)，
當(dāng)k∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，直線y=k與y=f（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
故②錯(cuò)誤；
③函數(shù)f（x）≤$\frac{1}{e}$，而y=x²+1≥1，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x²+1的圖象沒有公共點(diǎn)，
故③正確；
故選：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．