Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+2x+1}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入函數(shù)的表達(dá)式，利用基本不等式求出最小值即可；
（2）所求問題轉(zhuǎn)化為a（x₁-x₂）＞$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，從而得到a＜$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{x2+2x+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+2，
∵x+$\frac{1}{x}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$，即x=1時(shí)，取得等號(hào)，
∴f（x）的最小值為f（1）=2+2=4．
（2）∵f（x）在此區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以對(duì)于任意滿足1≤x₁＜x₂的x₁，x₂，
都有f（x₁）＞f（x₂）成立，
即：$\frac{{{ax}_{1}}^{2}+{2x}_{1}++1}{{x}_{1}}$＞$\frac{{{ax}_{2}}^{2}+{2x}_{2}+1}{{x}_{2}}$對(duì)x₁，x₂恒成立，
整理，得a（x₁-x₂）＞$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
∵x₁-x₂＜0，∴a＜$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，∵1≤x₁＜x₂，∴0＜$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜1，
所以a≤0，即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查基本不等式性質(zhì)的應(yīng)用，是一道中檔題．