Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-2，g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx．
（1）已知函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）函數(shù)h（x）=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$f（x）-k，討論關(guān)于x的方程h（x）=0根的情況．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a＜-（2x²+2x）在（0，1）恒成立，求出函數(shù)y=-（2x²+2x）的最小值即可求出a的范圍；
（2）令h（x）=0，得到：ln（1+x²）=$\frac{1}{2}$（1+x²）+k-$\frac{3}{2}$，…①，令1+x²=t，則t≥1，①式可化為：lnt=$\frac{1}{2}$t+k-$\frac{3}{2}$，問題轉(zhuǎn)化為y=lnt與y=$\frac{1}{2}$t+k-$\frac{3}{2}$的交點的個數(shù)問題，通過討論k的范圍，從而求出兩個函數(shù)的交點即方程h（x）=0的根的情況．

解答 解：（1）∵g（x）=x²-2+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx，
若g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，
∴g′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$≤0在（0，1）恒成立，
即a≤-（2x²+2x）在（0，1）恒成立，
而[-（2x²+2x）]＞-4，
∴a≤-4；
（2）∵h(yuǎn)（x）=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$（x²-2）-k
=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²+1-k，
令h（x）=0，得到：ln（1+x²）=$\frac{1}{2}$（1+x²）+k-$\frac{3}{2}$，…①，
令1+x²=t，則t≥1，
①式可化為：lnt=$\frac{1}{2}$t+k-$\frac{3}{2}$，
問題轉(zhuǎn)化為y=lnt與y=$\frac{1}{2}$t+k-$\frac{3}{2}$的交點的個數(shù)問題，
當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$t+k-$\frac{3}{2}$與曲線y=lnt相切時，
由$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{2}$，解得：t=2，
將t=2代入y=lnt得切點坐標(biāo)是（2，ln2），
此時，k=ln2+$\frac{1}{2}$，
∴k＞ln2+$\frac{1}{2}$時，直線與曲線無交點，即方程h（x）=0無解，
k=ln2+$\frac{1}{2}$時，直線與曲線有1個交點，即方程h（x）=0有1個根，
k＜ln2+$\frac{1}{2}$時，直線與曲線有2個交點，即方程h（x）=0有2個根．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是一道中檔題．