Question

17．已知四邊形ABCD為平行四邊形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE=BC=1，AE=$\sqrt{3}$，M為線段AB的中點(diǎn)，N為線段DE的中點(diǎn)，P為線段AE的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥EA；
（2）求二面角M-NE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）過B作BQ⊥平面ABCD，以B為原點(diǎn)，以BA、BC、BQ分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，證明$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{AE}$=0即可；
（2）所求值即為平面MNE的法向量與平面ANE的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵BC⊥平面ABE，BC?平面ABCD，
∴平面ABE⊥平面ABCD，BC⊥AB，
過B作BQ⊥平面ABCD，則BQ?平面ABE，
以B為原點(diǎn)，以BA、BC、BQ分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
∵AE⊥BE，BE=1，AE=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2，
∴A（2，0，0），B（0，0，0），
∴M（1，0，0），D（2，1，0），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
∴$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{AE}$=$-\frac{3}{8}+0+\frac{3}{8}$=0，
∴MN⊥EA；
（2）解：由（1）得：$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{NE}$=（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
$\overrightarrow{AN}$=（-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)平面MNE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\\{-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
設(shè)平面ANE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\\{-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+0+1}{\sqrt{1+1+\frac{1}{3}}•\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴所求二面角M-NE-A的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的位置關(guān)系，二面角，數(shù)量積運(yùn)算，解決的關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積公式以及線面垂直的性質(zhì)定理得到證明，注意解題方法的積累，屬于中檔題．