Question

13．長方形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，沿對角線AC將△DAC折起，使D點到P點的位置，且二面角P-AC-B為直二面角．

（1）求PB的長；
（2）求三棱錐P-ABC外接球的表面積．

Answer 1

分析 （1）過P作PE⊥AC，過B作BF⊥AC，取AC中點G，連結(jié)PG、BG，通過已知條件及勾股定理可得PF=$\sqrt{7}$，利用二面角P-AC-B為直二面角及勾股定理可得結(jié)論；
（2）通過翻折的性質(zhì)及（1）知三棱錐P-ABC外接球的球心為G、半徑r=2，利用球的表面積公式計算即可．

解答 解：（1）過P作PE⊥AC，過B作BF⊥AC，取AC中點G，連結(jié)PG、BG，
∵AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，四邊形ABCD為長方形，
∴CG=BG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2，
∴△BCG為等邊三角形，
∴PE=BF=$\sqrt{B{C}^{2}-（\frac{1}{2}CG）^{2}}$=$\sqrt{3}$，EF=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴PF=$\sqrt{P{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵二面角P-AC-B為直二面角，
∴PE⊥BF，
∴BF⊥平面PEF，∴BF⊥PF，
∴PB=$\sqrt{B{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
（2）由于長方形ABCD中沿對角線AC將△DAC折起后，
PG、BG的長度任然不變，
由（1）知PG=BG=AG=CG=4，
∴三棱錐P-ABC外接球的球心為G，半徑r=AG=2，
∴S_球=4π×2²=16π
即三棱錐P-ABC外接球的表面積為16π．

點評 本題考查線面垂直的判定定理，勾股定理，球的表面積公式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．