已知函數(shù)f（x）=|x+1|+2|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
考點：帶絕對值的函數(shù)
專題：選作題,不等式
分析：（Ⅰ）利用絕對值的幾何意義，寫出分段函數(shù)，即可解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）不等式f（x）≥|a+1|對任意的x∈R恒成立等價于|a+1|≤2，即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答： 解：（I）f(x)=
-3x+1，x≤-1
-x+3，-1＜x≤1
3x-1，x＞1
．…（1分）
當(dāng)x≤-1時，由-3x+1＜4得x＞-1，此時無解；
當(dāng)-1＜x≤1時，由-x+3＜4得x＞-1，∴-1＜x≤1；
當(dāng)x＞1時，由3x-1＜4得x＜
5
3
，∴1＜x＜
5
3
．…（4分）
綜上，所求不等式的解集為{x|-1＜x＜
5
3
}．…（5分）
（II）由（I）的函數(shù)解析式可以看出函數(shù)f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，故f（x）在x=1處取得最小值，最小值為f（1）=2，…（7分）
不等式f（x）≥|a+1|對任意的x∈R恒成立等價于|a+1|≤2，
即-2≤a+1≤2，解得-3≤a≤1，故a的取值范圍為{a|-3≤a≤1}．…（10分）
點評：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，絕對值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算∫
 
π
2
0
cosxdx=（　�。�
A、-1
B、1
C、
π
4
D、0

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當(dāng)l的斜率為1時，坐標(biāo)原點O到l的距離為
2
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P，Q，M，N橢圓C上四點，已知
PF
與
FQ
共線，
MF
與
FN
共線，且
PF
•
MF
=0，求四邊形PMQN面積的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知長方體AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，連結(jié)B1C，過B點作B1C的垂線交CC1于E，交B1C于F．
（1）求證：A1C⊥平面EBD；
（2）求三棱錐A-A1B1C的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)g（x）=lnx+
1
x
的單調(diào)區(qū)間和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．四點（-
3
，
3
2
）、（1，
3
2
）、（
2
，0）、（
3
，-
3
2
）中有三點在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）動直線l過點A（2，0），與y軸交于點R，與橢圓C交于點Q（Q不與A重合）．過原點O作直線l的平行線m，直線m與橢圓C的一個交點記為P．問：是否存在常數(shù)λ使得|AQ|、λ|OP|、|AR|成等比數(shù)列？若存在，請你求出實數(shù)λ的值；若不存在，請說明緣由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解關(guān)于x的不等式ax2-（a+2）x+2＞0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-|x|+2a-1，（a≤
1
2
）． 
（1）若a=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)滿足：①對任意0＜x＜1，都有f（x）＜0；②f（x）+f（y）=f（xy）對任意正實數(shù)x、y都成立．
（1）求證：x＞1時，f（x）＞0；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（3）如果f（4）=1，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）＜3，求x取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案