Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．四點(diǎn)（-

3

，

3

2

）、（1，

3

2

）、（

2

，0）、（

3

，-

3

2

）中有三點(diǎn)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）動(dòng)直線l過點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)R，與橢圓C交于點(diǎn)Q（Q不與A重合）．過原點(diǎn)O作直線l的平行線m，直線m與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)記為P．問：是否存在常數(shù)λ使得|AQ|、λ|OP|、|AR|成等比數(shù)列？若存在，請你求出實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，請說明緣由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由于橢圓是對稱圖形，得點(diǎn)(-

3

，

3

2

)、(

3

，-

3

2

)必在橢圓上，故

3

a2

+

3

4b2

=1；點(diǎn)(

2

，0)在橢圓上，

3

2

+

3

4b2

＞1矛盾，所以點(diǎn)(

3

，-

3

2

)也在橢圓上，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l：y=k（x-2），直線m：y=kx，聯(lián)立得：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-12=0，由此求出存在常數(shù)λ使得|AQ|、λ|OP|、|AR|成等比數(shù)列．

解答： 解：（1）由于橢圓是對稱圖形，
所以點(diǎn)(-

3

，

3

2

)、(

3

，-

3

2

)必在橢圓上，
于是有

3

a2

+

3

4b2

=1…①…（2分）
若點(diǎn)(

2

，0)在橢圓上，則a=

2

，
這樣

3

2

+

3

4b2

＞1矛盾；  …（3分）
所以點(diǎn)(

3

，-

3

2

)也在橢圓上，即

1

a2

+

9

4b2

=1…②
由①②解得a²=4，b²=3．
∴橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1…③…（5分）
（2）設(shè)直線l：y=k（x-2）…④
直線m：y=kx…⑤
④③聯(lián)立，并整理得：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-12=0…（6分）|AQ|=

1+k2

162k4-4(3+4k2)(16k2-12)

3+4k2

=

1+k2

144

3+4k2

…（8分）
又由④可得R（0，2k），故|AR|=2

1+k2

；
方程③⑤聯(lián)立消去y得：（3+4k²）x²-12=0
2|OP|=

1+k2

4×12(3+4k2)

3+4k2

，
|OP|=

1+k2

12(3+4k2)

3+4k2

…（10分）
要使得|AQ|、λ|OP|、|AR|成等比數(shù)列，
只需|AQ|×|AR|=（λ|OP|）²，
即

1+k2

12

3+4k2

×2

1+k2

=(λ

1+k2

12(3+4k2)

3+4k2

)2
整理得λ²=2，所以存在，λ=±

2

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．