Question

14．有關(guān)部門對(duì)甲、乙兩家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，其中家企業(yè)有5件不同產(chǎn)品，乙企業(yè)有3件不同的產(chǎn)品，檢驗(yàn)員從以上8件產(chǎn)品中每次抽取一件逐一不重復(fù)地進(jìn)行檢驗(yàn)．
（1）求前4次檢驗(yàn)的產(chǎn)品中至少有1件是乙企業(yè)的產(chǎn)品的概率；
（2）記第一次檢驗(yàn)到甲企業(yè)的產(chǎn)品后所檢驗(yàn)的產(chǎn)品簡(jiǎn)述共為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記事件A為“前4次檢驗(yàn)的產(chǎn)品中至少有1件是乙企業(yè)的產(chǎn)品”，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出前4次檢驗(yàn)的產(chǎn)品中至少有1件是乙企業(yè)的產(chǎn)品的概率．
（2）X的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）記事件A為“前4次檢驗(yàn)的產(chǎn)品中至少有1件是乙企業(yè)的產(chǎn)品”，
$P（A）=1-P（{\overline A}）=1-\frac{A_5^4}{A_8^4}=1-\frac{5×4×3×2}{8×7×6×5}=\frac{13}{14}$，
∴前4次檢驗(yàn)的產(chǎn)品中至少有1件是乙企業(yè)的產(chǎn)品的概率為$\frac{13}{14}$．…（4分）
（2）X的可能取值為1，2，3，4，
$P（X=1）=\frac{5}{8}$，
$P（X=2）=\frac{3}{8}×\frac{5}{7}=\frac{15}{56}$，
$P（X=3）=\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{5}{6}=\frac{5}{56}$，
$P（X=4）=\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{1}{6}=\frac{1}{56}$，…（9分）
∴X的分布列如下表：

X	1	2	3	4
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{1}{56}$

X數(shù)學(xué)期望為：$E（X）=1×\frac{5}{8}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{5}{56}+4×\frac{1}{56}=\frac{3}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．