Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C經(jīng)過(guò)A（0，1），B（3，4），C（6，1）三點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法即可求圓C的方程；
（Ⅱ）利用設(shè)而不求思想設(shè)出圓C與直線x-y+a=0的交點(diǎn)A，B坐標(biāo)，通過(guò)OA⊥OB建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理尋找關(guān)于a的方程，通過(guò)解方程確定出a的值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
將已知三點(diǎn)代入，得$\left\{\begin{array}{l}1+E+F=0\\ 9+16+3D+4E+F=0\\ 36+1+6D+E+F=0\end{array}\right.$，
解得：D=-6，E=-2，F(xiàn)=1，
所以圓C的方程為x²+y²-6x-2y+1=0，
即${（x-3）^2}+（y-1）_{\;}^2=9$．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足方程組：$\left\{\begin{array}{l}x-y+a=0\\{（x-3）^2}+（y-1）_{\;}^2=9.\end{array}\right.$
消去y，得到方程$2{x^2}+（2a-8）x+a_{\;}^2-2a+1=0$．
由已知可得，判別式$△=56-16a-4a_{\;}^2＞0$．
因此，${x_{1，2}}=\frac{{（8-2a）±\sqrt{56-16a-4a_{\;}^2}}}{4}$，
從而：${x_1}+{x_2}=4-a，{x_1}{x_2}=\frac{{a_{\;}^2-2a+1}}{2}$①，
由于：OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
又：y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
所以：$2{x_1}{x_2}+a（{x_1}+{x_2}）+a_{\;}^2=0$．②
由①，②，得：a=-1，滿足△＞0，
故a=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求解，考查學(xué)生的待定系數(shù)法，考查學(xué)生的方程思想，直線與圓的相交問(wèn)題的解決方法和設(shè)而不求的思想，考查垂直問(wèn)題的解決思想，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于直線與圓的方程的基本題型．