Question

2．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與拋物線C₂：y²=$\frac{1}{2}$x在第一象限的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，直線l：x-2y-$\sqrt{6}$=0過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知直線l'平行于直線l，且與橢圓C₁交于不同的兩點(diǎn)M，N，記直線AM的傾斜角θ₁，直線AN的傾斜角為θ₂，試探究θ₁+θ₂是否為定值？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知A（2，1）．故$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，直線l：x-2y-$\sqrt{6}$=0過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，可得c，即可求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）θ₁+θ₂=π．理由如下：設(shè)直線l′的方程為x-2y+m=0，與$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1聯(lián)立，可得8y²-4my+m²-8=0，利用韋達(dá)定理，由此得到k_AM=-k_AN，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將x=2代入y²=$\frac{1}{2}$x中，解得y=±1．
∵A在第一象限，∴A（2，1）．
故$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1①
∵直線l：x-2y-$\sqrt{6}$=0過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，
∴c=$\sqrt{6}$②，
又a²-b²=c²③，
由①②③可得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直線l′的方程為x-2y+m=0，與$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1聯(lián)立，可得8y²-4my+m²-8=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=$\frac{m}{2}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}}{8}$-1，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{2}$-4，
∴k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}-（2+m）（{y}_{1}+{y}_{2}）-（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0，
∴tanθ₁+tanθ₂=0，
∴θ₁+θ₂=π．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓方程的求法．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．