Question

1．設(shè)a＞b＞c＞0，則3a²+$\frac{1}{a（a-b）}$+$\frac{1}{ab}$-6ac+9c²的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 運(yùn)用配方和通分等變形可得原式=2a²+$\frac{1}{b（a-b）}$+（a-3c）²=2[b+（a-b）]²+$\frac{1}{b（a-b）}$+（a-3c）²，兩次運(yùn)用基本不等式，可得最小值，注意等號成立的條件．

解答 解：由a＞b＞c＞0，可得a-b＞0，
則3a²+$\frac{1}{a（a-b）}$+$\frac{1}{ab}$-6ac+9c²
=2a²+$\frac{b+（a-b）}{ab（a-b）}$+（a-3c）²
=2a²+$\frac{1}{b（a-b）}$+（a-3c）²=2[b+（a-b）]²+$\frac{1}{b（a-b）}$+（a-3c）²
≥2（2$\sqrt{b（a-b）}$）²+$\frac{1}{b（a-b）}$=8b（a-b）+$\frac{1}{b（a-b）}$
≥2$\sqrt{8b（a-b）•\frac{1}{b（a-b）}}$=4$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c=2${\;}^{\frac{1}{4}}$時取等號．
因此3a²+$\frac{1}{a（a-b）}$+$\frac{1}{ab}$-6ac+9c²的最小值為4$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用配方和通分等變形，以及基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．