Question

攀枝花市歡樂陽光節(jié)是攀枝花市的一次向外界展示攀枝花的盛會，為了搞好接待工作，組委會在某大學招募了10名男志愿者和5名女志愿者（分成甲乙兩組），招募時志愿者的個人綜合素質測評成績如圖所示．
（Ⅰ）問男志愿者和女志愿者的平均個人綜合素質測評成績哪個更高？
（Ⅱ）現采用分層抽樣的方法從甲乙兩組中共抽取3名志愿者負責接
待外賓，要求3人中至少有一名志愿者個人綜合素質測評為優(yōu)秀（成績
在80分以上為優(yōu)秀）的概率；
（Ⅲ）抽樣方法同（Ⅱ），記X表示抽取的3名志愿者的個人綜合素質測評為優(yōu)秀的數目，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）由莖葉圖分別求出男志愿者和女志愿者的平均個人綜合素質測評成績的平均數，得到女志愿者的平均個人綜合素質測評成績更高．
（Ⅱ）由題意，抽取比例為

3

15

，所以在男志愿者中抽2名，女志愿者中抽1名．由此利用對立事件的概率公式能求出至少1名成績優(yōu)秀的概率．
（Ⅲ）X的可能取值是0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）

.

x甲

=

1

10

(63+67+68+72+82+84+84+95+90+95)=80

.

x乙

=

1

5

(66+76+79+89+95)=81，
∵

.

x甲

＜

.

x乙

，
∴女志愿者的平均個人綜合素質測評成績更高．
（Ⅱ）由題意，抽取比例為

3

15

，
∴在男志愿者中抽2名，女志愿者中抽1名．
設至少1名成績優(yōu)秀的事件為A，則成績都不優(yōu)秀的事件為

.

A

，有
∵P(

.

A

)=

C 2 4 • C 1 3

C 2 10 • C 1 5

=

18

225

=

2

25

，∴P(A)=1-

2

25

=

23

25

．
（Ⅲ）X的可能取值是0，1，2，3，
P(X=0)=

2

25

，
P(X=1)=

C 1 6 • C 1 4 • C 1 3 + C 2 4 • C 1 2

C 2 10 • C 1 5

=

84

225

=

28

75

，
P(X=2)=

C 1 6 • C 1 4 • C 1 2 + C 2 6 • C 1 3

C 2 10 • C 1 5

=

93

225

=

31

75

，
P(X=3)=

C 2 6 • C 1 2

C 2 10 • C 1 5

=

30

225

=

10

75

，
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	2 25	28 75	31 75	10 75

數學期望為E(X)=1×

28

75

+2×

31

75

+3×

10

75

=

24

15

=1.6．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意莖葉圖的靈活運用．