Question

18．某商場舉行購物抽獎(jiǎng)活動，抽獎(jiǎng)箱中放有除編號不同外，其余均相同的20個(gè)小球，這20個(gè)小球編號的莖葉圖如圖所示，活動規(guī)則如下：從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)抽取一球，若抽取的小球編號是十位數(shù)字為l的奇數(shù)，則為一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金100元；若抽取的小球編號是十位數(shù)字為2的奇數(shù)，則為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金50元；若抽取的小球是其余編號則不中獎(jiǎng)．現(xiàn)某顧客有放回的抽獎(jiǎng)兩次，兩次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立．
（I）求該顧客在兩次抽獎(jiǎng)中恰有一次中獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）記該顧客兩次抽獎(jiǎng)后的獎(jiǎng)金之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)一次抽獎(jiǎng)抽中i等獎(jiǎng)的概率為P_i（i=1，2），沒有中獎(jiǎng)的概率為P₀，由此能求出該顧客兩次抽獎(jiǎng)中恰有一次中獎(jiǎng)的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為0，50，100，150，200，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)一次抽獎(jiǎng)抽中i等獎(jiǎng)的概率為P_i（i=1，2），沒有中獎(jiǎng)的概率為P₀，
則P₁+P₂=$\frac{3}{20}+\frac{5}{20}$=$\frac{2}{5}$，即中獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{5}$，
∴該顧客兩次抽獎(jiǎng)中恰有一次中獎(jiǎng)的概率為：
P=${C}_{2}^{1}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{25}$．
（Ⅱ）X的可能取值為0，50，100，150，200，
P（X=0）=$\frac{9}{25}$，
P（X=50）=${C}_{2}^{1}×\frac{5}{20}×\frac{3}{5}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=100）=$\frac{5}{20}×\frac{5}{20}+{C}_{2}^{1}×\frac{3}{20}×\frac{3}{5}$=$\frac{97}{400}$，
P（X=150）=${C}_{2}^{1}×\frac{3}{20}×\frac{5}{20}$=$\frac{3}{40}$，
P（X=200）=$\frac{3}{20}×\frac{3}{20}$=$\frac{9}{400}$，
∴X的分布列為：

X	0	50	100	150	200
P	$\frac{9}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{97}{400}$	$\frac{3}{40}$	$\frac{9}{400}$

∴EX=$50×\frac{3}{10}+100×\frac{97}{400}+150×\frac{3}{40}+200×$$\frac{9}{400}$=55（元）．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．