Question

10．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=BC=2，∠CBA=∠PBC=60°，Q為線段BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）求點(diǎn)Q到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （1）由題意得到三角形ABC為等邊三角形，由Q為BC中點(diǎn)，得到AQ垂直于BC，同理得到三角形BPC為等邊三角形，得到PQ垂直于BC，由AQ與QC交于Q，得到BC與平面APQ垂直，而AP屬于平面PAQ，即可得到PA與BC垂直；
（2）設(shè)點(diǎn)Q到平面PAC的距離為h，根據(jù)V_Q-ACP=V_C-APQ，利用體積法求出h，即為點(diǎn)Q到平面PAC的距離．

解答 （1）證明：∵在△ABC中，BC=AB，∠CBA=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∵Q為BC的中點(diǎn)，
∴AQ⊥BC，
同理在等邊△BPC中，PQ⊥BC，
∵QA∩QC=Q，
∴BC⊥平面PAQ，
∵AP?平面PAQ，
∴BC⊥PA；
（2）設(shè)點(diǎn)Q到平面PAC的距離為h，由（1）得QA=QP=$\sqrt{3}$，
∵AP=2，
∴S_△QPA=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∵BC⊥平面PAQ，且CQ=1，
∴V_C-PAQ=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$×1=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵AC=AP=PC=2，
∴S△PAC=$\frac{1}{2}$×2×2×sin60°=$\sqrt{3}$，
∴V_Q-PAC=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×h，
∵V_C-PAQ=V_Q-PAC，
∴$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×h，
解得：h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則點(diǎn)Q到平面PAC的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了點(diǎn)、線、面之間的距離，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．