Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式${a_n}=3n-1（n∈{N^*}）$．設(shè)數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且${b_n}={a_{k_n}}$．
（Ⅰ）若b₁=a₁=2，且等比數(shù)列{b_n}的公比最小，
（�。�寫(xiě)出數(shù)列{b_n}的前4項(xiàng)；
（ⅱ）求數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：以b₁=a₂=5為首項(xiàng)的無(wú)窮等比數(shù)列{b_n}有無(wú)數(shù)多個(gè)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（ⅰ）寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的前若干項(xiàng)，觀察可得等比數(shù)列{b_n}的公比最小為4，即可得到所求；
（ⅱ）由（ⅰ）可知{b_n}的通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得${k_n}=\frac{1}{3}（2•{4^{n-1}}+1），n∈{N^*}$．
證明k_n為正整數(shù)即可；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}是數(shù)列{a_n}中包含的一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，求出c₁，c₂，求得公比q，只要證${c_n}=5•{（3m+1）^{n-1}}$是數(shù)列{a_n}的項(xiàng)，運(yùn)用歸納法，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）觀察數(shù)列{a_n}的前若干項(xiàng)：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．
因?yàn)閿?shù)列{a_n}是遞增的整數(shù)數(shù)列，且等比數(shù)列以2為首項(xiàng)，顯然最小公比不能是$\frac{5}{2}$，最小公比是4．
（�。┮�2為首項(xiàng)，且公比最小的等比數(shù)列的前四項(xiàng)是2，8，32，128．
（ⅱ）由（ⅰ）可知b₁=2，公比q=4，所以${b_n}=2•{4^{n-1}}$．
又${b_n}={a_{k_n}}=3k_n^{\;}-1$，所以$3{k_n}-1=2•{4^{n-1}}，n∈{N^*}$，
即${k_n}=\frac{1}{3}（2•{4^{n-1}}+1），n∈{N^*}$．
再證k_n為正整數(shù)．
顯然k₁=1為正整數(shù)，n≥2時(shí)，
${k_n}-{k_{n-1}}=\frac{1}{3}（2•{4^{n-1}}-2•{4^{n-2}}）=\frac{1}{3}•2•{4^{n-2}}（4-1）=2•{4^{n-2}}$，
即${k_n}={k_{n-1}}+2•{4^{n-2}}（n≥2）$，
故${k_n}=\frac{1}{3}（2•{4^{n-1}}+1），n∈{N^*}$為正整數(shù)．
所以，所求通項(xiàng)公式為${k_n}=\frac{1}{3}（2•{4^{n-1}}+1），n∈{N^*}$；
（Ⅱ）證明：設(shè)數(shù)列{c_n}是數(shù)列{a_n}中包含的一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，
且${c_1}={a_{k_1}}=5$，${c_2}={a_{k_2}}=3{k_2}-1$，
所以公比$q=\frac{{3{k_2}-1}}{5}$．因?yàn)榈缺葦?shù)列{c_n}各項(xiàng)為整數(shù)，所以q為整數(shù)．
取k₂=5m+2（m∈N^*），則q=3m+1，故${c_n}=5•{（3m+1）^{n-1}}$．
只要證${c_n}=5•{（3m+1）^{n-1}}$是數(shù)列{a_n}的項(xiàng)，即證3k_n-1=5•（3m+1）^n-1．
只要證${k_n}=\frac{1}{3}[5{（3m+1）^{n-1}}+1]$（n∈N^*）為正整數(shù)，顯然k₁=2為正整數(shù)．
又n≥2時(shí)，${k_n}-{k_{n-1}}=\frac{5}{3}[{（3m+1）^{n-1}}-{（3m+1）^{n-2}}]=5m{（3m+1）^{n-2}}$，
即${k_n}={k_{n-1}}+5m{（3m+1）^{n-2}}$，
又因?yàn)閗₁=2，5m（3m+1）^n-2都是正整數(shù)，
故n≥2時(shí)，k_n也都是正整數(shù)．
所以數(shù)列{c_n}是數(shù)列{a_n}中包含的無(wú)窮等比數(shù)列，
其公比q=3m+1有無(wú)數(shù)個(gè)不同的取值，對(duì)應(yīng)著不同的等比數(shù)列，
故數(shù)列{a_n}所包含的以a₂=5為首項(xiàng)的不同無(wú)窮等比數(shù)列有無(wú)數(shù)多個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的判斷，考查運(yùn)算和推理能力，屬于難題．