Question

4．如圖，已知PA與圓O相切，P為切點(diǎn)，割線ABC與圓O相切于點(diǎn)B，C，AC=2PA，D為AC的中點(diǎn)．PD的延長線交圓O于E點(diǎn)，證明：
（1）∠ECD=∠EBD；
（2）2DB²=PD•DE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖3，連接PB，PC，由已知可得：∠APD=∠ADP，進(jìn)而得出∠CPD=∠BPD，可得CE=EB，即可證明．
（Ⅱ）由切割線定理得，PA²=AB•AC，可得B是AD中點(diǎn)，由相交弦定理，得DB•DC=PD•DE，即可證明．

解答 證明：（Ⅰ）如圖3，連接PB，PC，
由題設(shè)知PA=AD，∴∠APD=∠ADP，
∵∠ADP=∠PCD+∠CPD，∠APD=∠BPD+∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴∠CPD=∠BPD，
從而$\widehat{CE}=\widehat{EB}$，因此CE=EB，
∴∠ECD=∠EBD．
（Ⅱ）由切割線定理得，PA²=AB•AC，
∵PA=AD=DC，∴DC=2AB，∴AB=DB，即B是AD中點(diǎn)，
由相交弦定理，得DB•DC=PD•DE，
∴2DB²=PD•DE．

點(diǎn)評 本題考查了圓的性質(zhì)、三角形外角定理、切割線定理與相交弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．