Question

19．若函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{{\sqrt}}{e^{\sqrt{ax}}}（a＞0，b＞0）$的圖象在x=0出的切線與圓x²+y²=1相切，則2^a+2^b的最小值是（　�。�

• A． 4
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用導數(shù)求出切線方程，利用直線與圓的位置關系得出a+b=1，再利用基本不等式，即可求出2^a+2^b的最小值．

解答 解：∵$f'（x）=-\frac{{\sqrt{a}}}{{\sqrt}}{e^{\sqrt{a}}}^x，\;\;∴f'（0）=-\frac{{\sqrt{a}}}{{\sqrt}}$，
切點為$（{0，\;\;-\frac{1}{{\sqrt}}}）$，
由切線方程$y=-\frac{{\sqrt{a}}}{{\sqrt}}x-\frac{1}{{\sqrt}}$與圓x²+y²=1相切得a+b=1，
∴${2^a}+{2^b}≥2\sqrt{{2^{a+b}}}=2\sqrt{2}$，
故選D．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．