Question

4．已知函數(shù)f（x）=x-（1+a）lnx在x=1時(shí)存在極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{f（x）-1}{x-1}$＜$\frac{1}{2}$lnx．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（1）=0，解得a=0，再由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意x＞0；
（Ⅱ）求出f（x）=x-lnx，當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{f（x）-1}{x-1}$＜$\frac{1}{2}$lnx，等價(jià)為（x+1）lnx-2x+2＞0，令g（x）=（x+1）lnx-2x+2，求出導(dǎo)數(shù)，再令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x-（1+a）lnx的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=1-$\frac{1+a}{x}$，
由f（x）在x=1時(shí)存在極值，可得f′（1）=0，
即1-1-a=0，解得a=0；
可得f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，由f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
即有f（x）的減區(qū)間為（0，1）；
（Ⅱ）證明：f（x）=x-lnx，
當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{f（x）-1}{x-1}$＜$\frac{1}{2}$lnx，等價(jià)為（x+1）lnx-2x+2＞0，
令g（x）=（x+1）lnx-2x+2，g′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，
再令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，h（x）＞h（1）=0，
即為g′（x）＞g′（1）=0，g（x）在x＞1遞增，
即有g(shù)（x）＞g（1）=0，則（x+1）lnx-2x+2＞0成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造法，以及二次求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．