Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x+2，x≤0\\|{x-1}|+1，x＞0\end{array}$，若f（x）≥ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [2-2$\sqrt{2}$，1]
• B． （-∞，1]
• C． （2-2$\sqrt{2}$，0）
• D． [2-2$\sqrt{2}$，0]

Answer 1

分析 繪出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想判斷a的范圍，找出臨界點(diǎn)即相切時(shí)a的取值，進(jìn)而得出a的范圍．

解答 解：作出f（x）的圖象，如右．
由圖象可知：
要使f（x）≥ax恒成立，
只需函數(shù)g（x）=ax的圖象恒在圖象f（x）的下方，
可得a≤1顯然成立，
設(shè)g（x）=ax與函數(shù)f（x）=x²+2x+2（x≤0）相切于點(diǎn)P（m，n），
由f（x）的導(dǎo)數(shù)為2x+2，可得切線的斜率為2m+2，
即有a=2m+2，am=m²+2m+2，
解得m=-$\sqrt{2}$，a=2-2$\sqrt{2}$
由圖象可得a≥2-2$\sqrt{2}$，
綜上可得a的范圍是[2-2$\sqrt{2}$，1]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式成立問題的解法，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．