Question

8．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側面BB₁C₁C，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=60°．
（1）求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）試在棱CC₁（不包含端點）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁；
（3）在（2）的條件下，若AB=$\sqrt{2}$，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得BC₁=$\sqrt{3}$，由勾股定理得C₁B⊥BC，由線面垂直得AB⊥BC₁，由此能證明BC₁⊥面ABC．
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出E是CC₁中點，使得EA⊥EB₁．
（3）求出面AEB₁的法向量和面A₁B₁E的法向量，利用向量法能求出二面角A-EB₁-A₁的平面角的正弦值．

解答 證明：（1）∵BC=1    BB₁=2∠BCC₁=60°，
∴BC₁²=1+4-2•1•2cos60°=3，∴BC₁=$\sqrt{3}$，
∴BC²+BC₁²=CC₁²，∴C₁B⊥BC，
∵AB⊥面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁，
BC₁⊥面ABC．
解：（2）∵AB⊥面BCC₁B₁
BC₁⊥BC建立如圖所示空間直角坐標系
∴B（0，0，0），C（1，0，0），C₁（0，$\sqrt{3}$，0），B₁（-1，$\sqrt{3}$，0），A（0，0，z），
設E（a，b，0），$\overrightarrow{CE}$=$λ\overrightarrow{C{C}_{1}}$，
∴（a-1，b，0）=λ（-1，$\sqrt{3}$，0），∴E（1-λ，$\sqrt{3}λ$，0），
∵$\overrightarrow{EA}⊥\overrightarrow{E{B}_{1}}$，∴$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{E{B}_{1}}$=0，即（-1+λ，-$\sqrt{3}λ$，z）•（-2+λ，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}λ$，0）=0，
解得λ=1（舍）或$λ=\frac{1}{2}$，∴E（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），∴E是CC₁中點．
（3）設面AEB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
A₁（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），A（0，0，$\sqrt{2}$），E（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}，-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，0，$\sqrt{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y-\sqrt{2}z=0}\\{-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$．取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{2}$），
設面A₁B₁E的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{B}_{1}}=-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}，0$），
設二面角A-EB₁-A₁的平面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}•2}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，∴sinα=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-EB₁-A₁的平面角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的確定，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．