Question

4．在直角坐標系xOy中，曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α$為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，直線$l：ρ=\frac{4}{2sinθ+cosθ}$
（1）求曲線C與直線l的直角坐標方程；
（2）若P、Q分別為曲線C與直線l上的兩動點，求|PQ|的最小值以及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由cos²α+sin²α=1，能求出曲線C的直角坐標，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直線l的直角坐標方程．
（2）由題意得曲線C上的動點P與直線l上的動點Q的距離|PQ|的最小值等價于曲線C上的動點P到直線l的距離的最小值，由此利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出|PQ|的最小值以及此時點P的坐標．

解答 解：（1）∵在直角坐標系xOy中，曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α$為參數(shù)），
∴曲線C的直角坐標為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
∵直線$l：ρ=\frac{4}{2sinθ+cosθ}$，∴ρcosθ+2ρsinθ=4，
∴直線l的直角坐標方程為x+2y-4=0．
（2）由題意得曲線C上的動點P與直線l上的動點Q的距離|PQ|的最小值等價于曲線C上的動點P到直線l的距離的最小值，
設(shè)P（$\sqrt{3}cosα，sinα$），
則點P到直線l的距離為：
d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+2sinα-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（α+β）-4|}{\sqrt{5}}$，（其中，cos$β=\frac{2}{\sqrt{7}}$，sin$β=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$），
當(dāng)sin（α+β）=1時，|PQ|取最小值|PQ|_min=$\frac{4-\sqrt{7}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{35}}{5}$，
此時，$\sqrt{3}cosα=\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}-β）=\sqrt{3}sinβ=\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
sin$α=sin（\frac{π}{2}-β）=cosβ=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴|PQ|_min=$\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{35}}{5}$．此時P（$\frac{3\sqrt{7}}{7}，\frac{2\sqrt{7}}{7}$）．

點評 本題考查曲線與直線的直角坐標方程和線段長的最小值以及此時點的坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標和直角坐標互化公式的合理運用，注意點到直線的距離公式的合理運用．