Question

20．已知函數(shù)f（x）=|2^x-1|，當(dāng)a＜b＜c時，f（a）＞f（c）＞f（b），那么正確的結(jié)論是（　�。�

• A． 2^a＞2^b
• B． 2^a＞2^c
• C． 2^-a＜2^c
• D． 2^a+2^c＜2

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=|2^x-1|，可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2}^{x}-1，x≥0\\ 1-{2}^{x}，x＜0\end{array}\right.$．畫出函數(shù)圖象．利用函數(shù)圖象的單調(diào)性和已知條件可得：當(dāng)0≤a＜b＜c時，不滿足f（a）＞f（b）＞f（c），因此必有a＜0．當(dāng)a＜0＜c時，1-2^a＞2^c-1，化為2^a+2^c＜2；當(dāng)a＜b＜c≤0時，f（x）在區(qū)間（-∞，0]上也滿足2^a+2^c＜2．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|2^x-1|，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2}^{x}-1，x≥0\\ 1-{2}^{x}，x＜0\end{array}\right.$．
畫出函數(shù)圖象如下圖所示：

可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)0≤a＜b＜c時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，不滿足f（a）＞f（b）＞f（c），因此必有a＜0．
當(dāng)a＜0＜c時，1-2^a＞2^c-1，化為2^a+2^c＜2；
當(dāng)a＜b＜c≤0時，f（x）在區(qū)間（-∞，0]上單調(diào)遞減．
∴1＞1-2^a＞1-2^c≥0，
∴2^c≤1，2^a＜1，
∴2^a+2^c＜2．
綜上可知：D一定正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分類討論、數(shù)形結(jié)合等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．