Question

已知點(diǎn)是中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)（0，

5

），離心率為

6

6

，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M在橢圓上，求△MF₁F₂面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知得

b= 5 c a = 6 6 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），則S△MF1F2 =

1

2

|F1F2|•|y1|=

1

2

•2•|y1|，由此能求出當(dāng)y₁=±

5

時(shí)，S△MF1F2的最大值為

5

．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)（0，

5

），離心率為

6

6

，
∴

b= 5 c a = 6 6 a2=b2+c2

，
解得a=

6

，c=1，
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

5

=1．
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），則S△MF1F2 =

1

2

|F1F2|•|y1|=

1

2

•2•|y1|，
∵-

5

≤y1≤

5

，
∴|y₁|的最大值為

5

，
∴當(dāng)y₁=±

5

時(shí)，S△MF1F2的最大值為

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．