Question

已知函數(shù)f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]，設命題p：“f（x）的定義域為R”；命題q：“f（x）的值域是R”．
（1）若命題p為真，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題p為假，命題q為真時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,簡易邏輯

分析：（1）命題p為真，即f（x）的定義域為R，即（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0的解集為R，所以討論a²-1=0，和a²-1≠0．a(chǎn)²-1=0時，容易得到a=-1時滿足不等式解集為R，當a²-1≠0時，要使不等式的解集為R，則

a2-1＞0 (a+1)2-4(a2-1)＜0

，解該不等式并合并a=-1，便可得到a的取值范圍；
（2）先求命題q為真時a的取值范圍，要使f（x）的值域為R，則可設函數(shù)y=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域為B，則有（0，+∞）⊆B，對于a²-1=0的情況，容易判斷a=-1滿足（0，+∞）⊆B，而a²-1≠0時，需滿足

a2-1＞0 (a+1)2-4(a2-1)≥0

，求出該不等式的解合并a=-1即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）的定義域為R，則（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0的解集為R；
∴若a²-1=0，a=±1，a=1時2x+1＞0，該不等式的解集不為R，即a≠1；a=-1時，1＞0，該不等式解集為R；
若a²-1≠0，則

a2-1＞0 (a+1)2-4(a2-1)＜0

，解得a＜-1，或a＞

5

3

；
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]∪(

5

3

，+∞)；
（2）若f（x）的值域是R，則設y=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域為B，則（0，+∞）⊆B；
若a²-1=0，a=±1，a=1時，y=2x+1，該函數(shù)的值域為R，滿足（0，+∞）⊆R，a=-1時，y=1顯然不滿足（0，+∞）⊆B，即a≠-1；
若a²-1≠0，即a≠±1，要使（0，+∞）⊆B，則

a2-1＞0 (a+1)2-4(a2-1)≥0

，解得1＜a≤

5

3

；
∴1≤a≤

5

3

；
∴實數(shù)a的取值范圍是：[1，

5

3

]．

點評：考查一元二次不等式的解和判別式△的關(guān)系，二次函數(shù)值域的情況和判別式的關(guān)系，以及子集的概念．