Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的長軸的左、右端點分別為A、B，在橢圓上有一個異于點A、B的動點P，若直線PA的斜率k_PA=

1

2

，則直線PB的斜率k_PB為（　�。�

• A、

  3

  4

• B、

  3

  2

• C、-

  3

  4

• D、-

  3

  2

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（m，n），則

m2

4

+

n2

3

=1．即有n²=

3

4

（4-m²），由橢圓方程可得左右頂點A，B，再利用斜率的計算公式化簡整理代入即可得到PA，PB的斜率之積，再由PA的斜率，即可得到PB的斜率．

解答： 解：由橢圓

x2

4

+

y2

3

=1 得a²=4，解得a=2，
即有A（-2，0），B（2，0），
設(shè)P（m，n），則

m2

4

+

n2

3

=1．
即有n²=

3

4

（4-m²），
則k_PA=

n

m+2

，k_PB=

n

m-2

，
即有k_PA•k_PB=

n

m+2

•

n

m-2

=

n2

m2-4

=

3

4

•

4-m2

m2-4

=-

3

4

．
由于直線PA的斜率k_PA=

1

2

，
則直線PB的斜率k_PB為-

3

4

×2=-

3

2

，
故選D．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查斜率公式的運用，以及化簡整理和代入的能力，屬于中檔題．