Question

【題目】如圖，設(shè)點(diǎn)F1(－c，0)、F2(c，0)分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且最小值為0．

⑴求橢圓C的方程；

⑵若動(dòng)直線l1，l2均與橢圓C相切，且l1∥l2，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)B，點(diǎn)B到l1，l2的距離之積恒為1？若存在，請(qǐng)求出B坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】⑴⑵滿足題意的定點(diǎn)B(－1，0)或B(1，0)

【解析】

試題分析：（1）設(shè)P（x，y），可得向量坐標(biāo)關(guān)于x、y的形式，從而得到，結(jié)合點(diǎn)P為橢圓C上的點(diǎn)，化簡(jiǎn)得，說明最小值為，從而解出，得到橢圓C的方程．（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)它們的方程為y=kx+m與y=kx+n，與橢圓方程聯(lián)解并利用根的判別式列式，化簡(jiǎn)得且，從而得到m=-n．再假設(shè)x軸上存在B（t，0），使點(diǎn)B到直線的距離之積為1，由點(diǎn)到直線的距離公式列式，并化簡(jiǎn)去絕對(duì)值整理得或，再經(jīng)討論可得t=±1，得B（1，0）或B（-1，0）．最后檢驗(yàn)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，（1，0）或（-1，0）到直線l1，l2的距離之積與等于1，從而得到存在點(diǎn)B（1，0）或B（-1，0），滿足點(diǎn)B到的距離之積恒為1

試題解析：⑴設(shè)，則有

，

由最小值為0得，

∴橢圓C的方程為．

⑵①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為

把的方程代入橢圓方程得

∵直線與橢圓C相切，∴△，化簡(jiǎn)得

同理，

∴，若，則重合，不合題意，∴

設(shè)在x軸上存在點(diǎn)，點(diǎn)B到直線在距離之積為1，則

，即，

把代入并去絕對(duì)值整理，

或者

前式顯然不恒成立；而要使得后式對(duì)任意的恒成立

則，解得；即或

②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為和，

定點(diǎn)(－1，0)到直線的距離之積為；

定點(diǎn)(1，0)到直線的距離之積為；

綜上所述，滿足題意的定點(diǎn)B(－1，0)或B(1，0)