Question

15．在某單位的職工食堂中，食堂每天以3元/個的價格從面包店購進面包，然后以5元/個的價格出售．如果當天賣不完，剩下的面包以1元/個的價格賣給飼料加工廠．根據(jù)以往統(tǒng)計資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示．食堂某天購進了90個面包，以x（單位：個，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（單位：元）表示利潤．
（Ⅰ）求T關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計利潤T不少于100元的概率；
（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中間值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），則取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的頻率），求T的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，當60≤X≤90時，求出利潤T，當90＜X≤110時，求出利潤T，由此能求出T關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（Ⅱ）由題意，設(shè)利潤T不少于100元為事件A，利潤T不少于100元時，即70≤X≤110，由此利用對立事件概率計算公式能求出T的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（III）由題意，利潤T的取值可為：80，120，160，180，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出利潤的數(shù)學(xué)期望E（T）．

解答 解：（Ⅰ）由題意，當60≤X≤90時，利潤T=5X+1×（90-X）-3×90=4X-180，
當90＜X≤110時，利潤T=5×90-3×90=180，
即T關(guān)于x的函數(shù)解析式T=$\left\{\begin{array}{l}{4X-180，（60≤X≤90）}\\{180，（90＜X≤110）}\end{array}\right.$．…（4分）
（Ⅱ）由題意，設(shè)利潤T不少于100元為事件A，
由（Ⅰ）知，利潤T不少于100元時，即4X-180≥100，
∴X≥70，即70≤X≤110，
由直方圖可知，當70≤X≤110時，
所求概率為：
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-0.025×（70-60）=0.75．…（7分）
（ III）由題意，由于4×65-180=80，4×75-180=120，
4×85-180=160，
故利潤T的取值可為：80，120，160，180，
且P（T=80）=0.25，P（T=120）=0.15，P（T=160）=0.2，P（T=180）=0.4，…（9分）
故T的分布列為：

T	80	120	160	180
P	0.25	0.15	0.2	0.4

∴利潤的數(shù)學(xué)期望：
E（T）=80×0.25+120×0.15+160×0.20+180×0.40=142．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．