Question

12．下列四個命題：
①平面α∩β=l，a?α，b?β，若a，b為異面直線，則a，b中至少有一條與l相交．
②若a，b∈R，且a+b=3，則2^a+2^b的最小值為4$\sqrt{2}$．
③若x∈R，則“復(fù)數(shù)z=（1-x²）+（1+x）i為純虛數(shù)”是“l(fā)g|x|=0”必要不充分條件．
④正項數(shù)列{a_n}，其前n項和為S_n，若S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），則 a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．（n∈N₊）．
其中真命題有①②④．（填真命題序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)面面相交和直線的關(guān)系進(jìn)行判斷，
②根據(jù)基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行判斷即可，
③根據(jù)復(fù)數(shù)的概念以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，
④利用歸納法進(jìn)行證明即可．

解答 解：①平面α∩β=l，a?α，b?β，若a，b為異面直線，則a，b中至少有一條與l相交，正確，
若a，b都與l平行，則a∥b與若a，b為異面直線矛盾．故①正確，
②若a，b∈R，且a+b=3，則2^a+2^b≥2$\sqrt{{2}^{a}•{2}^}$=2$\sqrt{{2}^{a+b}}$=2$\sqrt{{2}^{3}}$=4$\sqrt{2}$，則最小值為4$\sqrt{2}$正確，故②正確．
③若x∈R，則“復(fù)數(shù)z=（1-x²）+（1+x）i為純虛數(shù)”，則$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}=0}\\{1+x≠0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=±1}\\{x≠-1}\end{array}\right.$，則x=1，此時lg|x|=0成立，即充分性成立，故③錯誤，
④下用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
①n=1時，a₁=1，滿足${a}_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時，結(jié)論成立，即${a_k}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$，則當(dāng)n=k+1時，有${a_{k+1}}={S_{k+1}}-{S_k}=\frac{1}{2}（{a_{k+1}}+\frac{1}{{{a_{k+1}}}}）-\frac{1}{2}（{a_k}+\frac{1}{a_k}）$
∴${a_{k+1}}-\frac{1}{{{a_{k+1}}}}=-{a_k}-\frac{1}{a_k}=-\sqrt{k}+\sqrt{k-1}-\sqrt{k}-\sqrt{k-1}=-2\sqrt{k}$
解方程得${a_{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$，即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立
由①②可知，猜想成立，故④正確，
故答案為：①②④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．