Question

17．函數(shù)f（x）=-x³+x²+tx+1在（-1，1）上是增函數(shù)，則t的取值范圍是（　　）

• A． t＞5
• B． t＜5
• C． t≥5
• D． t≤5

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=-x³+x²+tx+1在（-1，1）上是增函數(shù)，所以會(huì)得到f′（x）在（-1，1）上應(yīng)是f′（x）≥0，函數(shù)在端點(diǎn)處有定義，所以f′（-1）≥0，求得關(guān)于t的不等式，解不等式便能求出t的取值范圍．

解答 解：f′（x）=-3x²+2x+t，
由題意知，要使函數(shù)f（x）=-x³+x²+tx+1在（-1，1）上是增函數(shù)，
f′（x）≥0恒成立，
∵f′（x）=-3x²+2x+t的圖象是開(kāi)口向下，
由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=-$\frac{2a}$=$\frac{1}{3}$，
∴當(dāng)x=-1時(shí)取最小值，最小值為-5+t，
∴-5+t≥0，解得t≥5，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題用到的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是：如果一個(gè)函數(shù)在一個(gè)開(kāi)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，并且函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)有定義，那么它在閉區(qū)間上也是單調(diào)函數(shù)，并且單調(diào)性和開(kāi)區(qū)間上一致．