Question

9．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+3t\\ y=2-4t\end{array}$ （t為參數），它與曲線C：（y-2）²-x²=1交于A、B兩點．
（1）求|AB|的長；
（2）求點P（-1，2）到線段AB中點C的距離．

Answer 1

分析 （1）寫出直線l的標準參數方程，代入曲線普通方程，利用根與系數的關系和參數的幾何意義得出|AB|；
（2）求出C對應的參數即為P到C點的距離|PC|．

解答 解：（1）直線l的標準參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{3}{5}t}\\{y=2+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數），
代入曲線方程并化簡得7t²-30t-50=0．
設A、B對應的參數分別為t₁、t₂，
則t₁+t₂=$\frac{30}{7}$，t₁t₂=-$\frac{50}{7}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{10\sqrt{23}}{7}$．
（2）根據中點坐標的性質可得AB中點C對應的參數為$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=$\frac{15}{7}$．
∴由t的幾何意義可得點P（-1，2）到線段AB中點C的距離為$\frac{15}{7}$．

點評 本題考查了參數方程的幾何意義，距離計算，屬于中檔題．