Question

【題目】設橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點.若橢圓E的離心率為，三角形ABF2的周長為4.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設不經過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點C，D，設弦AB，CD的中點分別為M，N，證明：O，M，N三點共線.

Answer 1

【答案】（1）＋＝1；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據橢圓的定義由三角形ABF2的周長求出a，代入離心率求出c，再求出b，即可求得橢圓的方程；（2）直線斜率不存在時由橢圓的對稱性即可證明；直線斜率存在時，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，A，B 點的坐標代入方程，兩式相減利用中點坐標公式變形可求出直線OM的斜率，同理可求出ON的斜率，兩斜率相等即可得證.

（1），a＝，

又e＝，∴c＝，b＝，

∴橢圓E的方程為＋＝1.

（2）當直線AB，CD的斜率不存在時，由橢圓的對稱性知，中點M，N在x軸上，O，M，N三點共線；

當直線AB，CD的斜率存在時，設其斜率為k(k≠0)，

且設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

則，兩式相減，得＝－，

又，所以·＝－，

則－－.

同理可得－，，∴O，M，N三點共線.