【題目】如圖,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,∠ABC60°AA1AB,M,N分別為AB,AA1的中點(diǎn).

1)求證:平面B1NC⊥平面CMN;

2)若AB2,求點(diǎn)N到平面B1MC的距離.

【答案】1)見(jiàn)解析;(2

【解析】

1)推導(dǎo)出AA1⊥平面ABCDAA1CM,CMAB,從而CM⊥平面ABB1A1,進(jìn)而CMB1N,推導(dǎo)出△A1B1N∽△ANM,從而∠A1B1N=∠ANM,∠A1NB1=∠AMN,進(jìn)而B1NMN,B1N⊥平面CMN,由此能證明平面B1NC⊥平面CMN.

2)求出點(diǎn)B1到平面CMN的距離為h1,設(shè)N到平面B1CM的距離為h2,由,能求出點(diǎn)N到平面B1MC的距離.

1)證明:∵直四棱柱ABCDA1B1C1D1,∴AA1⊥平面ABCD,

CM平面ABCD,∴AA1CM

∵底面ABCD是菱形,∠ABC60°,MAB的中點(diǎn),

CMAB

AA1ABA,AA1平面ABB1A1AB平面ABB1A1,

CM⊥平面ABB1A1

B1N平面ABB1A1,∴CMB1N

MAB中點(diǎn),NAA1中點(diǎn),AA1,

,,

∵∠B1A1N=∠NAM90°,∴△A1B1N∽△ANM,

∴∠A1B1N=∠ANM,∠A1NB1=∠AMN,

∴∠A1NB1+ANM90°,∴B1NMN

MNCMM,∴B1N⊥平面CMN

B1N平面B1NC,∴平面B1NC⊥平面CMN.

2)∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,∠ABC60°,

AA1AB,AB2,MN分別為AB,AA1的中點(diǎn).

MNB1M3,B1C,

B1N,

∵底面ABCD是菱形,∠ABC60°,

CMCN

由(1)知B1N⊥平面CMN,設(shè)點(diǎn)B1到平面CMN的距離為h1,h1

CN2MN2+CM2,∴,

,

B1M3,,∴,

設(shè)N到平面B1CM的距離為h2,

,

解得h2.

∴點(diǎn)N到平面B1MC的距離為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求出直方圖中的值;

2)利用樣本估計(jì)總體的思想,估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表,中位數(shù)精確到0.01);

3)現(xiàn)規(guī)定:質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品,質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個(gè)口罩中抽出5個(gè)口罩,并從中再隨機(jī)抽取2個(gè)作進(jìn)一步的質(zhì)量分析,試求這2個(gè)口罩中恰好有1個(gè)口罩為一等品的概率.

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【題目】在測(cè)試中,客觀題難題的計(jì)算公式為,其中為第題的難度, 為答對(duì)該題的人數(shù), 為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)120名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試,共5道客觀題.測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如下表所示:

測(cè)試后,從中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生,將他們編號(hào)后統(tǒng)計(jì)各題的作答情況,如下表所示(“√”表示答對(duì),“×”表示答錯(cuò)):

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),將抽樣的10名學(xué)生每道題實(shí)測(cè)的答對(duì)人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度填入下表,并估計(jì)這120名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù);

(2)從編號(hào)為1到5的5人中隨機(jī)抽取2人,求恰好有1人答對(duì)第5題的概率;

(3)定義統(tǒng)計(jì)量,其中為第題的實(shí)測(cè)難度, 為第題的預(yù)估難度(.規(guī)定:若,則稱(chēng)該次測(cè)試的難度預(yù)估合理,否則為不合理.判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.

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【題目】設(shè)橢圓E1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)點(diǎn)F1的直線(xiàn)交橢圓EA,B兩點(diǎn).若橢圓E的離心率為三角形ABF2的周長(zhǎng)為4.

1)求橢圓E的方程;

2)設(shè)不經(jīng)過(guò)橢圓的中心而平行于弦AB的直線(xiàn)交橢圓E于點(diǎn)CD,設(shè)弦AB,CD的中點(diǎn)分別為MN,證明:O,M,N三點(diǎn)共線(xiàn).

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60 44 66 44 21

66 06 58 05 62

61 65 54 35 02

42 35 48 96 32

14 52 41 52 48

92 66 22 15 86

96 63 75 41 99

58 42 36 72 24

A.23B.21C.35D.32

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1)試驗(yàn)時(shí)從甲、乙,丙三種魚(yú)苗中各取一尾,記自然成活的尾數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

2)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)乙種魚(yú)苗較好,扶貧工作組決定購(gòu)買(mǎi)尾乙種魚(yú)苗進(jìn)行大面積養(yǎng)殖,為提高魚(yú)苗的成活率,工作組采取增氧措施,該措施實(shí)施對(duì)能夠自然成活的魚(yú)苗不產(chǎn)生影響.使不能自然成活的魚(yú)苗的成活率提高了50%.若每尾乙種魚(yú)苗最終成活后可獲利10元,不成活則虧損2元,且扶貧工作組的扶貧目標(biāo)是獲利不低于37.6萬(wàn)元,問(wèn)需至少購(gòu)買(mǎi)多少尾乙種魚(yú)苗?

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【題目】某校在高一年級(jí)一班至六班進(jìn)行了社團(tuán)活動(dòng)滿(mǎn)意度調(diào)查(結(jié)果只有滿(mǎn)意不滿(mǎn)意兩種),從被調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取了50人,具體的調(diào)查結(jié)果如表:

班號(hào)

一班

二班

三班

四班

五班

六班

頻數(shù)

4

5

11

8

10

12

滿(mǎn)意人數(shù)

3

2

8

5

6

6

現(xiàn)從一班和二班調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取4人進(jìn)行追蹤調(diào)查,則選中的4人中恰有2人不滿(mǎn)意的概率為___________;若將以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中學(xué)生持滿(mǎn)意態(tài)度的頻率視為概率,在高一年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記其中滿(mǎn)意的人數(shù)為X,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是___________

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