Question

1．已知函數(shù)fx）=$\frac{{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}（x∈R）$，若滿足f（1）=$\frac{1}{3}$
（1）求實數(shù)a的值；
（2）證明：f（x）為奇函數(shù)．
（3）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（1）=$\frac{1}{3}$便可求出a=1；
（2）寫出$f（x）=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，定義域顯然為R，容易得到f（-x）=-f（x），從而得出該函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）分離常數(shù)得到$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，根據(jù)單調(diào)性定義便可判斷該函數(shù)在R上單調(diào)遞增，根據(jù)增函數(shù)的定義證明：設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明f（x₁）＜f（x₂）即可得出f（x）在R上單調(diào)遞增．

解答 解：（1）f（1）=$\frac{1}{3}$；
∴$\frac{2+a-2}{2+1}=\frac{1}{3}$；
∴a=1；
（2）證明：$f（x）=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；
該函數(shù)定義域為R，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}=\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（3）$f（x）=\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，可看出x增大時，f（x）增大，∴f（x）在R上為增函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上為增函數(shù)．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義及判斷過程，分離常數(shù)法的運(yùn)用，根據(jù)增函數(shù)的定義判斷并證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后為分式的一般要通分．