Question

6．已知圓C：x²+y²-2ax-2（a-1）y-1+2a=0（a≠1）對所有的a∈R且a≠1總存在直線l與圓C相切，則直線l的方程為y=-x+1．

Answer 1

分析 設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，比較系數(shù)得到方程組，求出恒與圓相切的直線的方程．

解答 解：圓的圓心坐標為（a，1-a），半徑為：$\sqrt{2}$|a-1|
顯然，滿足題意切線一定存在斜率，
∴可設(shè)所求切線方程為：y=kx+b，即kx-y+b=0，
則圓心到直線的距離應(yīng)等于圓的半徑，即$\frac{|ka+a-1+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$|a-1|恒成立，
即2（1+k²）a²-4（1+k²）a+2（1+k²）=（1+k）²a²+2（b-1）（k+1）a+（b-1）²恒成立，
比較系數(shù)得$\left\{\begin{array}{l}{2（1+{k}^{2}）=（1+k）^{2}}\\{-4（1+{k}^{2}）=2（b-1）（k+1）}\\{2（1+{k}^{2}）=（b-1）^{2}}\end{array}\right.$，
解之得k=-1，b=1，所以所求的直線方程為y=-x+1．
故答案為：y=-x+1．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓系方程的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計算能力．