【題目】已知函數(shù).
(1)若時(shí),函數(shù)
的圖像恒在直線
上方,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)證明:當(dāng)時(shí),
.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1)先由題意得到當(dāng)時(shí),
恒成立,即
恒成立,再令
,
,用導(dǎo)函數(shù)方法研究其單調(diào)性,得到其最值,即可得出結(jié)果;
(2)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟,結(jié)合(1)的結(jié)果,即可證明結(jié)論成立.
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)
的圖像恒在直線
上方,
等價(jià)于當(dāng)時(shí),
恒成立,
即恒成立,
令,
,則
當(dāng)時(shí),
,故
在
上遞增,
當(dāng)時(shí),
,故
在
上遞減,
∴為
在區(qū)間
上的極小值,僅有個(gè)極值點(diǎn)故為最小值,
∴時(shí),
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
;
(2)證明:
①當(dāng)時(shí),由
,知
成立;
②假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立,即
那么,當(dāng)時(shí),
下面利用分析法證明:
要證上式成立,只需證:
只需證:
令,只需證:
,
只需證:,
由(1)知當(dāng)時(shí),
恒成立.
所以,當(dāng)時(shí),
也成立,
由①②可知,原不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
也為拋物線
的焦點(diǎn),點(diǎn)
為
在第一象限的交點(diǎn),且
.
(I)求橢圓的方程;
(II)延長,交橢圓
于點(diǎn)
,交拋物線
于點(diǎn)
,求三角形
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2是圓心為(2,
),半徑為1的圓.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)M為曲線C1上的點(diǎn),N為曲線C2上的點(diǎn),求|MN|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與直線
交于
不同兩點(diǎn)分別過點(diǎn)
、點(diǎn)
作拋物線
的切線,所得的兩條切線相交于點(diǎn)
.
(Ⅰ)求證為定值:
(Ⅱ)求的面積的最小值及此時(shí)的直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
為常數(shù),
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象在點(diǎn)
處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍是( )
A. B.
C. 或
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記為數(shù)列
的前
項(xiàng)和.“任意正整數(shù)
,均有
”是“
為遞增數(shù)列”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”是手機(jī)推出的多款健康運(yùn)動(dòng)軟件中的一款,某學(xué)校140名老師均在微信好友群中參與了“微信運(yùn)動(dòng)”,對(duì)運(yùn)動(dòng)10000步或以上的老師授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào),低于10000步稱為“參與者”,為了解老師們運(yùn)動(dòng)情況,選取了老師們?cè)?月28日的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
運(yùn)動(dòng)達(dá)人 | 參與者 | 合計(jì) | |
男教師 | 60 | 20 | 80 |
女教師 | 40 | 20 | 60 |
合計(jì) | 100 | 40 | 140 |
(1)根據(jù)上表說明,能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)?
(2)從具有“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的教師中,采用按性別分層抽樣的方法選取10人參加全國第四屆“萬步有約”全國健走激勵(lì)大賽某賽區(qū)的活動(dòng),若從選取的10人中隨機(jī)抽取3人作為代表參加開幕式,設(shè)抽取的3人中女教師人數(shù)為,寫出
的分布列并求出數(shù)學(xué)期望
.
參考公式:,其中
.
參考數(shù)據(jù):
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù),且
.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求證數(shù)列
的前
項(xiàng)和
<2.
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