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【題目】已知函數，曲線在處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）求證：時，；

（3）求證：.

【答案】見解析.

【解析】分析：第一問對函數求導，求得的值，緊接著求得，從而應用點斜式求得直線的方程，與題中所給的直線方程對比，求得參數的值，第二問將所求的的值代入，之后構造新函數，利用導數得到函數的單調性，之后證得結果，第三問借助于第二問所證得的不等式，將其中變量加以代換，之后對不等式進行變形，并且對其進行適當的放縮，然后應用裂項相消法求和，證得結果.

詳解：（Ⅰ）函數定義域為，，

又因為

所以該切線方程為，即,.

（2）設，

則

設，

則

當，，又，故

所以，即在區(qū)間上單調遞增，所以

所以，

（2）由（2）可知，

令，則，

因為

所以時，有

化簡為，

即，所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 ．

（1）若曲線在處切線的斜率為，求此切線方程；

（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】動直線：（）與圓：交于點，，則弦最短為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）若時，函數的圖像恒在直線上方，求實數的取值范圍；

（2）證明：當時，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】運行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為71，則判斷框中可以填（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，是橢圓：的左、右焦點，恰好與拋物線的焦點重合，過橢圓的左焦點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點，直線：，過斜率為的直線與橢圓交于，兩點，與直線交于點，若直線，，的斜率分別是，，，求證：無論取何值，總滿足是和的等差中項．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，其余棱長均為是棱上的一點，分別為棱的中點．

（1）求證: 平面平面；

（2）若平面，求的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論：

①當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；

②當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最大值為60°.

其中正確的是________.（填寫所有正確結論的編號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，，求的取值范圍.

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