Question

9．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x），x∈[0，+∞），f'（x）是f（x）的導函數(shù)．設g（x）=f（x）-axf'（x）（a為常數(shù)），求函數(shù)g（x）在[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值．

解答 解：由題意$g（x）=ln（{x+1}）-\frac{ax}{1+x}$，
$g'（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{{a（{1+x}）-ax}}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{（{1+x}）}^2}}}$…（2分）
令g'（x）＞0，即x+1-a＞0，得x＞a-1，
當a-1≤0，即a≤1時，g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
g_min（x）=g（0）=ln（1+0）-0=0…（5分）
當a-1＞0即a＞1時，g（x）在[a-1，+∞）上單調(diào)遞增，在[0，a-1]上單調(diào)遞減，
所以g（x）_min=h（a-1）=lna-a+1…（8分）
綜上：$g{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{0，a≤1}\\{lna-a+1，a＞1}\end{array}}\right.$…（10分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．