Question

4．已知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1表示焦點在x軸上的橢圓；命題q：雙曲線$\frac{{y}^{2}}{5}$-$\frac{{x}^{2}}{m}$=1的離心率e∈（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）．若命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的m的范圍，通過討論p，q的真假，得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：若p真，則m＞6-m＞0，解得：3＜m＜6，
若q真，則m＞0且e²=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{m}{5}$∈（$\frac{3}{2}$，2），解得：$\frac{5}{2}$＜m＜5，
∵p∨q為真命題，p∧q為假命題
∴p，q中有且只有一個為真命題，即p，q必一真一假
①若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{3＜m＜6}\\{m≤\frac{5}{2}或m≥5}\end{array}\right.$，即5≤m＜6；
②若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{m≤3或m≥6}\\{\frac{5}{2}＜m＜5}\end{array}\right.$，即$\frac{5}{2}$＜m≤3；
∴實數(shù)m的取值范圍為：（$\frac{5}{2}$，3]∪[5，6）．

點評 本題考查了橢圓和雙曲線的性質，考查復合命題的判斷，是一道中檔題．