Question

如圖，點(diǎn)P（0，

A

2

）是函數(shù)y=Asin（

2π

9

x+φ）（其中A＞0，φ∈[0，2π））的圖象與sinθ=

t

1+t2

軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是它與y軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)R是它的一個(gè)最低點(diǎn)．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若PQ⊥PR，求A的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，

A

2

)，得到sinφ=

1

2

，結(jié)合φ的范圍求得φ的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函數(shù)解析式，然后求出Q和R點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出

PQ

，

PR

的坐標(biāo)，然后由數(shù)量積等于0求得A的值．

解答： 解：（I）∵函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，

A

2

)，∴sinφ=

1

2

，
又∵φ∈[0，2π），且點(diǎn)P在遞減區(qū)間上，∴ϕ=

5π

6

；
（II）由（I）可知y=Asin(

2π

9

+

5π

6

)，令y=0，
得sin(

2π

9

x+

5π

6

)=0，∴

2π

9

x+

5π

6

=0，
∴x=-

15

4

，∴Q(-

15

4

，0)．

令y=-A，得sin(

2π

9

x+

5π

6

)=-1，
∴

2π

9

x+

5π

6

=

3π

2

，
∴x=3，
∴R（3，-A）．
又∵P(0，

A

2

)，
∴

PQ

=(-

15

4

，-

A

2

)，

PR

=(3，-

3A

2

)，
∵PQ⊥PR，
∴

PQ

•

PR

=-

45

4

+

3

4

A2=0，解得：A=

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，考查了平面向量的數(shù)量積，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．